［問題1］1変数関数のテイラー展開 - fledgling-cae-engineer’s diary

問題

関数 $f(x)=\log(x+x^2)$ を $x=1$ まわりで2次まで展開せよ。

本問を解くためには、テイラー展開の公式を覚えておく必要があります。関数 $f(x)$ の $x=a$ まわりでのテイラー展開は、次式で表されます。

$\displaystyle f(x,y) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$

本問の場合、 $f(x)=\log(x+x^2)$ であり、 $a=1$ になります。

問題では、2次まで展開するように指示があるので、1次と2次の微分を求めましょう。

1次微分 $f'(x)$ は、

$\displaystyle f'(x) = \frac{\partial (x+x^2)}{\partial x} \frac{\partial \log(x+x^2)}{\partial (x+x^2)} = \frac{1+2x}{x+x^2}$

であり、２次微分 $f''(x)$ は、

$\displaystyle f''(x) = \frac{2\cdot (x+x^2)- (1+2x)\cdot (1+2x) }{(x+x^2)^2}= -\frac{2x^2+2x+1 }{x^2(1+x)^2}$

です。

与式と上式から、 $f(1) = \log(2)$ 、 $f'(1) = \frac{3}{2}$ 、 $f''(1) = -\frac{5}{4}$ ですね。

したがって、 $x=1$ まわりでの展開式は、

$\displaystyle f(x) = -\frac{5}{8}x^2 +\frac{11}{4}x-\frac{17}{4}+\log(2)$

となります。