［問題17］3×3のLU分解 - fledgling-cae-engineer’s diary

問題

行列 $A$ のLU分解として、適切なものはどれか。

$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2& 4& 7 \\ 1 & 7 & 8 \end{bmatrix}$

$L= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 0& -2& -3 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$ 、 $U= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2& 1& 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$
$L= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2& 0& 0 \\ 1 & 7 & 8 \end{bmatrix}$ 、 $U= \begin{bmatrix} 0 & 3 & 5 \\ 0& 4& 7 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$
$L= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2& 1& 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ 、 $U= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 0& -2& -3 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$
$L= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1& 2& 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ 、 $U= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 0& -2& 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

解き方

LU分解は、行列 $[A]$ を行列の積 $[L][U]$ に分解する手法のようです。
$[L]$ は下三角行列（Lower行列）、 $[U]$ は上三角行列（Upper行列）と呼ばれており、次の形式になるそうです。
$[L]= \begin{bmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22}& 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{bmatrix}$ 、 $[U]= \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0& u_{22}& u_{23} \\ 0 & 0 & u_{31} \end{bmatrix}$
Wikipedia先生によるとLU分解はLR分解とも呼ばれているので、LはLeftと覚えても大丈夫だそうです。

a： $[L]$ がLower行列になっていないので、誤り。
ちなみに、 $[L][U]= \begin{bmatrix} 11 & -7 & 5 \\ -7& 4& -3 \\ -3 & 6 & -3 \end{bmatrix}$ であり、 $[A]$ と一致しません。

b： $[L]$ はLower行列になっていますが、 $[U]$ がUpper行列になっていないので、誤り。
ちなみに、 $[L][U]= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0& 6& 10 \\ 0 & 30 & 54 \end{bmatrix}$ となり、 $[A]$ と一致しません。

c：正しい。
実際に行列の積を計算すると
$[L][U]= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2& 4& 7 \\ 1 & 7 & 8 \end{bmatrix}$ となり、 $[A]$ と一致します。

d： $[L]$ はLower行列、 $U$ がUpper行列になっていますが、行列の積 $[L][U]$ が $[A]$ と異なるので、誤り。
実際に行列の積を計算すると、 $[L][U]= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ -2& -7& 1 \\ 2 & -3& 13 \end{bmatrix}$ となり、 $[A]$ と一致しません。

したがって、正解はdでした。