［問題18］差分近似の種類と精度 - fledgling-cae-engineer’s diary

問題

関数 $f(x)$ の1階微分 $f'(x)$ と2階微分 $f''(x)$ の近似（A−C）について、精度と差分近似の適切な組み合わせはどれか。

$\displaystyle \begin{align} f'(x) &\approx \frac{f(x-h)-f(x)}{-h} \tag{A} \\ f''(x) & \approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \tag{B}\\ f'(x) &\approx \frac{-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)}{2h} \tag{C} \end{align}$

A：1次精度の前進差分、B：1次精度の中央差分、C：2次精度の前進差分
A：1次精度の前進差分、B：1次精度の後退差分、C：3次精度の後退差分
A：1次精度の後退差分、B：2次精度の中央差分、C：3次精度の前進差分
A：1次精度の後退差分、B：2次精度の後退差分、C：3次精度の後退差分
A：1次精度の後退差分、B：2次精度の中央差分、C：2次精度の前進差分
A：1次精度の後退差分、B：2次精度の後退差分、C：2次精度の後退差分

解き方

差分近似の種類を確認した後、テイラー展開しましょう。

差分近似は、前進・中央・後退の3種類があります。どの差分近似を表しているかは、 $h$ の符号で決まります。

$+h$ があれば、前進差分近似

$-h$ があれば、後退差分近似

$+h$ と $-h$ の両方があれば、中央差分近似

よって、AからCの近似は、
A：後退差分近似
B：中央差分近似
C：前進差分近似
です。

次に、テイラー展開を利用して近似の精度を調べます。
テイラー展開の公式は次式です。

$\displaystyle f(x)= f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+\frac{f''(a)}{2!}\cdot (x-a)^2+\cdots$

この公式で、 $x=x+h$ 、 $a=x$ とおくと、 $f(x+h)$ の展開式が得られます。
$\displaystyle f(x+h)= f(x)+f'(x)\cdot h+\frac{f''(x)}{2!}\cdot h^2+\frac{f'''(x)}{3!}\cdot h^3+\cdots$

$x=x+2h$ 、 $a=x$ とおくと、 $f(x+2h)$ の展開式が得られます。
$\displaystyle f(x+2h)= f(x)+2f'(x)\cdot h+4\frac{f''(x)}{2!}\cdot h^2+8\frac{f'''(x)}{3!}\cdot h^3+\cdots$

$x=x-h$ 、 $a=x$ とおくと、 $f(x-h)$ の展開式が得られます。
$\displaystyle f(x-h)= f(x)-f'(x)\cdot h+\frac{f''(x)}{2!}\cdot h^2-\frac{f'''(x)}{3!}\cdot h^3+\cdots$

これらを用いて、A、B、Cの差分近似を調べてみましょう。

A：
$\displaystyle \begin{align} f(x-h)-f(x) &= f(x)-f'(x) \cdot h +\frac{f''(x)}{2!}\cdot h^2 +\mathcal{O}(h^3) -f(x) \\ &= -f'(x) \cdot h +\mathcal{O}(h^2) \\ \end{align}$
上式を $-h$ で割ると $h$ の1次式になり、1次の精度を有していると言えます。

B：
$\displaystyle \begin{align} f(x+h)-2f(x)+f(x-h) &= f(x)+f'(x) \cdot h +\frac{f''(x)}{2!} \cdot h^2 +\frac{f'''(x)}{3!} \cdot h^3 -2f(x) - f'(x) \cdot h +\frac{f''(x)}{2!} \cdot h^2 -\frac{f'''(x)}{3!} \cdot h^3 +\mathcal{O}(h^4) \\ &= f''(x) \cdot h^2 +\mathcal{O}(h^4) \\ \end{align}$
上式を $h^2$ で割ると、2次になります。

C：
$\displaystyle \begin{align} &-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x) \\ &= (-1+4-3)\cdot f(x) + (-2+4)\cdot f'(x)\cdot h + \frac{-2+2}{2!}\cdot f''(x)\cdot h^2 + \left\{-\frac{8}{3!\cdot 3}+\frac{2}{3!\cdot 3}\right\}\cdot f'''(x)\cdot h^3 + \mathcal{O}(h^4) \\ &=2\cdot f'(x)\cdot h -\frac{1}{3}\cdot f'''(x)\cdot h^3 + \mathcal{O}(h^4) \end{align}$
上式を $2h$ で割ると、2次になります。

したがって、正解はeでした。